电大2009春学期基于WEB2.0的形成性考核离散数学/ ► 测验/ ► 作业1：离散数学答案

一、集合运算跟我练习（每题10分，共20分）　　1．设集合A＝{a, b, {a, b}} ，B ={{a}, {b}, a, b }，求 B A， A B 和 A－B，B A ． 　　解 B A ＝{{a}, {b}, a, b } {a, b, {a, b}}=___{a,b}_______； 　　　　A B ={a, b, {a, b}} {{a}, {b}, a, b }=__( a, b, {a}, {b}, {a, b})______； 　　　　A － B ={a, b, {a, b}} － {{a}, {b}, a, b }=___{{a, b}}_________； 　　　　B A ={ a, b, {a}, {b}, {a, b}} － { a, b}=__{{a}, {b}, {a, b}}__________． 　　2．设 A，B，C 为任意集合，试证：(A B ) C = A (B C) ． 　　证明 设任意 x (A B) C，那么 x A B或　　　　x C　　　　　　　， 　　　　也就是 x A或 x B或 x C； 　　　　由此得 x A 或 x B C，即 　 x A ( B C　)　　　　　　　　． 　　　　所以， (A B ) C A (B C) ． 　　　　又因为对 任意 x A (B C)，由 x A 或　x B C　　　　　　　　　　， 　　　　也就是 x A或 x B或 x C； 　　　　得 x A B 或 x C，即 x (A B) C． 　　　　所以， A (B C) 　 　　　 (A B) C． 　　　　故 (A B) C =A (B C) ． 二、集合运算自我练习（每题15分，共30分）　　3． 设 A ={{a, b}, 1, 2} ， B ={ a, b, {1}, 1} ，求(A - B)， A × B 和 ( A ∪ B ) - ( A ∩ B ) ．
解：(A - B)＝{{a, b}, 2}
A × B＝{<{a, b},a>,<{a, b},b>,<{a, b},{1}>,<{a, b},1>,<1,a>,<1,b>,<1,{1}>,<1,1>,<2,a>,<2,b>,<2,{1}>,<2,1>}
( A ∪ B ) - ( A ∩ B ) = {{a, b}, 1, 2, a, b, {1}}-{1}={{a, b}, 2, a, b, {1}}
　　4．设 A , B, C 是三个任意集合，试证 A (B C)=(A B ) (A C ) ．
证明：
设x为任意元素，x A (B C) <=> x A∧x (B C) <=>
x A ∧ (x B ∨x C) <=> (x A ∧ x B ) ∨(x A ∧ x C )
<=>x A B ∨x A C <=> x (A B) x (A C)
所以A (B C)=(A B ) (A C )
三、关系性质与等价关系的判定（每题25分，共50分） 　　　　5．设集合 A ={a , b , c} 上的二元关系 　　　　R = { ，，， } ， 　　　　S ={ ， } ， 　　　　T = { ，，， } ， 　　判断 R，S，T 是否为 A 上自反的、对称的和传递的关系．并说明理由．
答：R是自反的，因为对于任意x A，总有 R。
R是对称的，因为对于任意x A且y A，若 R，总有 R。
R是传递的，因为任意x A，y A，z A ,只要xRy,yRz,总有xRz。
S不是自反的，因为c A，但不属于S。
S是对称的，因为对于任意x A且y A，若 S，总有 S。
S不是传递的，因为 S且 S，但不属于S。
T不是自反的，因为不属于T。
T不是对称的，因为 T但不属于T。
T不是传递的，因为 T且 T但不属于T。
　　6. 设集合 A = {a, b, c, d} ， R，S是 A上的二元关系，且 　　　　R = {, , , , , , , }　　　　S = {, , , , , , , , } 　　试判断R和S是否为A上的等价关系，并说明理由．
答：
R是A上的自反、对称、传递的二元关系，所以R是A上的等价关系。
S不是自反的二元关系，所以S不是A上的等价关系。